Степенева функція, її графік та властивості.

(Урок з використанням інформаційних технологій).

Мета. Узагальнення та систематизація знань про степеневу   функцію; закріплення навичок читання графіків, моделювання реальних процесів за допомогою степеневої функції.

Обладнання: комп’ютери, презентації,

педагогічний програмний засіб  Advanсed Grapher.

Тип уроку: самостійна робота під керівництвом вчителя.

Завдання:

1.                 Дослідити  властивості степеневої функції y=x ^a для різних значень параметра a.

2.                 Результати дослідження занести в таблицю. Зробити висновки.

3.                     Моделювання реальних процесів за допомогою степеневої функції.

Хід уроку

На початку уроку вчитель націлює учнів на вивчення властивостей степеневої функції і звертає їхню увагу на те, що майже всі функції, вивчені ними на цей час, є різновидами функції у = х ^а, тобто степеневої (на практиці часто розглядають  функцію виду  у = kх ^а, де k ― сталий коефіцієнт, але оскільки в даному випадку вивчаються властивості степеневої функції, пов'язані з різними значеннями параметра a, доцільно вважати далі в усіх розглядуваних тут випадках значення параметра k рівним 1.

 Функцію виду  у = х¹ учні звикли називати прямою пропорційністю;

  виду у = х ^-1,  або  ― оберненою пропорційністю;

виду     у = х²  (та у = ах² + bх + с) ― квадратичною функцією, а її графік ― параболою; графік функції у = х³ ― кубічною параболою тощо.

Таке повторення можна зробити за допомогою перегляду слайдів на комп’ютері.

Але цікаво було б дізнатись, якими будуть графіки функцій у = х²¹, у = х²² і т.п.

Під час бесіди також слід повторити схему дослідження функції та підготувати бланк звіту про виконану роботу. Звіт можуть складати таблиця  властивостей різних видів  степеневої функції  та висновки учнів  про помічені ними загальні властивості степеневої функції.

Завдання для самостійної роботи

1. Дослідити властивості степеневої функції   у = х ^a, коли a ― ціле додатне парне:

а) побудувати графіки функцій:  1)  у = х²,  2) у = х⁴,  3) у = х⁸,

 4) у = х¹⁴ ;

б) заповнити відповідний рядок таблиці, зобразивши на схемі графіки двох будь-яких функцій даного виду.

2. Дослідити властивості степеневої   функції у = х ^a, коли a ― ціле додатне непарне:

а)  побудувати графіки функцій:  1)  у = х³,  2) у = х⁵ , 3) у = х⁷;

б)  заповнити відповідний рядок таблиці.

              Очікуване зображення на моніторі:

 3. Дослідити властивості степеневої   функції у = х ^a   ,   0<а<1:

     а) побудувати графіки функцій: 

1)  у = х ^0,4 ;          2)  у = х ^0,6 ;           3)  у = х ^0,8

б)   заповнити відповідний рядок таблиці.

4. Дослідити властивості степеневої   функції у = х ^a  ,а>1;

а) побудувати графіки функцій: 

1) у = х ^1,2   ;       2) у = х ^2,3 ;         3)   у = х ^3,1 .

             б) заповнити відповідний рядок таблиці.

            

          

5a)  Дослідити властивості степеневої   функції у = x ^a  з цілими від’ємними показниками(а=-(2k), kєN )

1)   побудувати графіки функцій :  а) у = х ^-2;   б) у = х ^-4; в)  у = х ^-6;   

2)    заповнити відповідний  рядок таблиці.

b) Дослідити властивості степеневої   функції у = x ^a  з цілими від’ємними показниками  (а=-(2k-1), kєN )

                1) побудувати графіки функцій:  а) у = х ^-3;   б) у = х ^-5; 

                                                                                       в)  у = х ^-7;   

               2) заповнити відповідний рядок таблиці.

Учні під керівництвом вчителя  досліджують одержані графіки і заповнюють таблицю. На цьому етапі слід звернути особливу увагу учнів на взаємне розташування графіків, запропонувати зображувати в одній і тій самій координатній площині схеми всіх графіків одного типу.

Наприкінці уроку доцільно обмінятися враженнями про  цікаві особливості графіків  степеневої функції, які учням вдалося помітити.

Контроль знань учнів про властивості степеневої функції можна   провести на одному з уроків у формі фронтальної самостійної роботи на 5 - 7 хвилин. У першому завданні запропонувати учням зобразити на одній координатній площині схеми п’яти різних графіків, а у другому ― порівняти  значення виразів, наприклад,            та ;    та ;     та . Така контролююча робота може бути проведена за картками або включена до тестового контролю з даної теми. Також можна запропонувати учням описати властивості довільної степеневої функції (різні варіанти).

Як додаткове завдання на самостійній роботі можна запропонувати учням перевірити деякі властивості степенів .

Таблиця для занесення результатів дослідження  функції у = x ^a

Значення параметра  a	Схематичне зображення графіка	Область визначення функції D (х)	Область значень функції Е (х)	Парність	Нулі функції	Проміжки знакосталості	Проміжки монотонності
a ― додатне ціле парне, a = 2,4,6...
a ― додатне ціле непарне, a = 1,3,5...
a ― додатне раціональне, 0<а<1 a =  0,4;  0,6;  0,8   ...
a ― додатне раціональне, а >1, a =  1,2 ;  2,3;  3,1 ...
a ― від’ємне  ціле парне, a = - 2, - 4, - 6 …
a ― від’ємне  ціле непарне, a = - 1, - 3...
а- не ціле, а<0  а=-1,2;-2,3; -3,1.
Домашнє завдання
a > 0
a < 0

Доповнення знань.

Колективне розв’язування задач прикладного характеру на застосування степеневих функцій(задачі № 1;2;4).

1.     Задайте формулою функцію, що виражає залежність площі S круга від його радіуса r. Укажіть область визначення та множину значень цієї функції.

2.     Задайте формулою залежність сторони куба від його об’єму. Чи є ця залежність функцією? Якщо так, то визначте її вид.

3.     Задайте формулою функцію, яка виражає залежність об’єму V циліндра висотою 5 м. від радіуса r його основи. Чи є ця функція степеневою? При якому значенні r значення цієї функції дорівнює 20π?

4.     Вкладник поклав до банку 1000 грн. під p відсотків річних. Запишіть формулу, за якою можна обчислити кількість А грошей, які отримає вкладник через 3 роки. Чи задає ця формула функцією? Якщо так, то вкажіть вид функції та її аргумент.

5.     Протягом 5 годин температура води знижувалась на p відсотків. Задайте формулою функцію,що виражає залежність температури t води від p, якщо початкова температура води дорівнювала 20С. Знайдіть t(1), t(2),t(3).

Домашнє завдання:

  закінчити заповнення таблиці: у двох останніх     рядках узагальнити    властивості функції для додатного та від’ємного значень показника степеня;

 виконати задачі № 3і№ 5;